Inequações Modulares

Chamamos de inequações modulare sas inequações nas quais separam módulos de expressões que contém icognita.

• |X|>A <=> X<-A ou X>A

              Solução => União.

• |X| <A <=>-A<X<A

              Solução => Interseção


Exemplo 1: 

|2X-1|>3 <=> 2X-1<-3 ou 2X-1>3

 2X-1<-3

 2X<-3+1

2X<-2

X<-1 --> S1

 2X+1>3

 2X>3+1

2X>4

X>2 -->S2

                -1

S1 ----------,_________________

                                     2                                      
S2 ________________,-----------



                     -1                2
S1 US2    ------,________,---------



S = {XERZ X<-1 ou X>2}




Exemplo 2:

|3X+3|>6 <=> 3X+3<-6 ou 3X+3>

3X+3<-6
3X<-6-3
3X<-9
X<-3 -->S1



3X+3>6
3X>6-3
3X:3
X>1 -->S2


             -3
S1 --------,________________

                                   1
S2_______________,----------


                       -3         1
S1 US2 ----------,_____,---------



S = {XER|X<-3 ou X> }





Exemplo 3:


|2X-1<3 <=> -3<2X-1<3

-3<2X-1
-2X<-1+3
-2X<2(-1)
2X>-2
X>-2/2
X>-1 -->S1


2X-1<3
2X<3+1
2X<4
X<4/2
X<2 -->S2



               -1                       
S1  ______,---------------------,______

                                           2
S2 ______----------------------,_______


S1 US2 _____,------------------,______
                       -1                  2




Parte 2





Parte 3

Equações Modulares.

Toda equação que tenha icognita em um módulo num dos membros, será chamada equação modular.

Exemplo:

| X² - 5X| = 1

| X + 8| = | X² - 3|

Exemplo de Resolução :

•  |3X - 4| = 2

Caso 1 
                                

3X - 4 = 2

3X = 2+4

3X = 6

X = 2

Caso 2
 

3X - 4 =-2

3X = -2+4
3X = 2
X = 2/3

• | X²-5X| = 6

Caso 1

X²-5X = 6
X²-5X - 6 = 0


/\ = (-5)² - 4.1. (-6)
/\ = 25+24 = 49

             -(-5) = raiz de 49
X = ___________________
                
                          2-1


             5 +- 7
X = ___________

                 2



- X = 12/2 = 6



X = -2/2 = -1

Caso 2

X²-5X = -6
X²-5X +6

/\ = 25-24 = 1


        5 +- 1
X = ______
 
            2

X = 6/2
X = 3

         5-1 
X = _____   = 4/2 = 2

           2


S = {-1, 2, 3, 6}






Parte 2





Parte 3





Parte 4





Parte 5

Introdução a Função Modular .

Módulo ou valor absoluto.

O modulo ou valor absoluto de um número real X, que se indica por |X| é definido da seguinte maneira.

        |X|= {X.se X > 0

                      {-X.se X < 0 

Então :

• Se X é positivo ou zero, |X| é igual ou próprio X. 

Exemplo: 

  |2| = 2, |1/2 |= 1/2, |15|  =15

• Se X é negativo, |X| é igual  a -X.

Exemplo:

|-2| = - (-2) = 2
|-20| = - (-20) = 20

O módulo de um número real é sempre positivo ou nulo. O módulo de um número real nunca é negativo .


Inicialmente definimos módulo de um número real como |x| , ou valor absoluto de x. 

i) o módulo de um número real não negativo é o próprio número. ii) o módulo de um número real negativo é o oposto do número.

Exemplo:

 

|1| = 1 , |–3| = 3 , |+5| = 5, – | – 1| = –1.

Conseqüências importantes:

Função Modular 

  É aquela que associa a cada elemento x real um elemento |x|

Para que o conceito de função fique claro adotamos a notação de uma função f(x) = |x|, como sendo: 

Sendo que o gráfico de f(x) = |x| é semelhante ao gráfico de f(x) = x, sendo que a parte negativa do gráfico será “refletida” sempre para um f(x) positivo.

  Um outro exemplo para uma função modular seria a função modular do 2º grau 

  sendo f(x) = |x² – 4| , assim: 

  Gráfico:

Representando geometricamente  

O módulo de um número real X é igual a distância ao ponto que representa, na reta, o número X ao ponto 0 na origem. Assim. |-2| = 2            

                                                               |2| = 2                                                            ___________,_____,_____,___________

                                                                      -2                    0              

• Se |X| < A ( com A > 0) significa que a distância entre X e A é menos que a, isto é,  deve estar entre A e A, ou seja :

|X| < A <=> - A < X < A

   __________0__________0__________ -A                   A

• Se |X| > A ( coom A > 0) significa que a distância entre X e A origem é maior que A, isto é, deve estar a direira de A ou à esquerda de A na reta, ou seja:

|X| > A <=> X > A ou X < - A   __________,__________,__________

                                                                                                                 - A                   A